જો $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ એ તમામ $x \in R - \{0\}$ માટે હોય,તો $f(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-3\pi}^{3\pi} \sin^2 \theta \sin^2 2\theta \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $F(x) = \int_x^{x^2+\frac{\pi}{6}} 2 \cos^2 t \, dt$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે છે અને $f: [0, \frac{1}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે. $a \in [0, \frac{1}{2}]$ માટે,જો $F'(a) + 2$ એ $x=0, y=0, y=f(x)$ અને $x=a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-2}^2 (4-x^2)^{\frac{5}{2}} dx = $ ($\text{$\pi$}$ માં)

ધારો કે $f : (-1, 1) \to R$ એક સતત વિધેય છે. જો $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ હોય,તો $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int f(x) dx = F(x) + C$ હોય,તો $\frac{d}{dt} \int_{g(t)}^{h(t)} f(x) dx =$